怎么因式分解二次多项式

3次和4次多项式都可以用待定系数法。 3次多项式的因式分解方法主要还是先观察出它的一个根来,然后判定它含有哪个一次因子,分解后就变为二次的了。分解因式的方法是多样的，且其方法之间相互联系，一道题很可能要同时运用多种方法才可能完成。例

本文我们将从以下几个部分来详细介绍如何因式分解二次多项式（二次方程）：试错法、分解法、三重方法、两个平方之差、使用二次公式、用计算器

本文将教你如何因式分解二次多项式。一个多项式含有一个变量（x），x有特定的次数，多项式还有各种其他的变量和常数。要因式分解一个二次多项式成多个多项式因子相乘的形式，你的数学水平得达到代数I以上，否则不太容易理解本方法的原理。本文中都用到的标准形式的二次多项式：ax2 + bx + c = 0

设x^3-2x^2+3 =(x+1)(x^2+bx+3) =x^3+bx^+3x+x^2+bx+3 =x^3+(b+1)x^2+(3+b)x+3 所以： b+1=-2 3+b=0, 得到b=-3 即因式分解为：x^3-2x^2+3=(x+1)(x^2-3x+3). 至于多项式的分解，方法很多，有十字交叉、配方、公式法以及上面的计算方法等，具体选

第1步：写下表达式。

解一元三次方程，首先要得到一个解，这个解可以凭借经验或者凑数得到，然后根据短除法得到剩下的项。 举例说明解x³-3x²+4=0这题。 具体过程：我们观察式子，很容易找到x=-1是方程的一个解，所以我们就得到一个项x+1。 剩下的项我们用

以次数高低排列，如果有最大公因数则提出来：6 + 6x2 + 13x，6x2 + 13x + 6

1、如果没有常数项，把x提出来，就成2次多项式了 2、看能否用公式： X1·X2·X3=-d/a； X1·X2+X1·X3+X2·X3=c/a； X1+X2+X3=-b/a。 3、对于ax^3+bx^2+cx+d(对于x因式分解)，先求a,d的因数，比如p是a的因数，比如q是d的因数，把x=q/p带入原式，如果

第2步：用以下方法之一，得出因式分解的结果：(2x + 3)(3x + 2)

x^3-5x^2+17x-13 看看x等于什么可以使他等于0 显然x=1可以 所以有一个因式是x-1 所以x^3-5x^2+17x-13 =x^3-x^2-4x^2+4x+13x-13 =x^2(x-1)-4x(x-1)+13(x-1) =(x-1)(x^2-4x+13)

第3步：用FOIL（首项相乘、外项相乘、内向相乘、次项相乘，这是展开多项式相乘的一种步骤方法）分解，并合并同类项：(2x + 3)(3x + 2)，6x2 + 4x + 9x + 6，6x2 + 13x + 6。

十字分解法的方法简单来讲就是：十字左边相乘等于二次项，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项。其实就是运用乘法公式(x+a)(x+b)=x²+(a+b)x+ab的逆运算来进行因式分解。 十字分解法能把二次三项式分解因式（不一定在整数范围内）

第一部分：试错法

如果是整系数一元三次多项式：ax^3+bx^2+cx+d ， 那么分解成 (px+q)(mx^2+nx+v) ，须满足： 1、p 必是 a 的约数； 2、q 必是 d 的约数 。 也可以把 x = q/p 代入多项式，如果结果 = 0 ，就说明有因式 px-q 。 如分解 2x^3 + 7x^2 + 4x - 3 ， 2

若你的多项式十分简单，可以自己来发现因数。注意：用这个方法，可能不能因式分解更复杂的三项式了。例子: 3x2 + 2x - 8

提取公因式法； 分组分解法； 十字相乘法----a(x-p)(x-q)=0； 配方法----a(x-m)²+n=0； 公式法：x={-b±√(b²-4ac)}/(2a)

第1步：把a、c的因数写出来：a = 3 因数有:

1、提公因式法 几个多项式的各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。 如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。 具体方法：当各项系数都是

1 和 3，c = -8 因数: 2 和 4 和 1 和 8

1、提公因式法 几个多项式的各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。 如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。 具体方法：当各项系数都是

第2步：写两对括号，留点空白：( x )( x )

1、在数学中，由若干个单项式相加组成的代数式叫做多项式（若有减法：减一个数等于加上它的相反数）。多项式中的每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高项次数，就是这个多项式的次数。其中多项式中不含字母的项叫做常数项。 2、把一个多

第3步：把a可能的一对因数写在x前：本例子中只有一对因数 (3

1. a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2) 根据上面的公式计算的6a^3+2ab^22 道理一样 最后是=(a+b)(a^2-ab+b^2-1)3 （x-y）少了个三次方吧答案是（2x-y）（x^2+y^2-3xy）

x )(1

x )

第4步：在x项后面分别写上成对的c的因数，先试试 (3x 8

3次多项式的因式分解方法主要还是先观察出它的一个根来,然后判定它含有哪个一次因子,分解后就变为二次的了.下面的内容系统地介绍了因式分解的方法. 即和差化积，其最后结果要分解到不能再分为止。而且可以肯定一个多项式要能分解因式，则结果唯

)(x 1

)

第5步：决定x项和常数项的符号。

⑴提公因式法 ①公因式：各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的～. ②提公因式法：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法. am＋bm＋cm＝m（a+b+c

以下是方法：如果ax2 + bx + c 则 (x + h)(x + k)，如果 ax2 - bx - c 或 ax2 + bx - c 则 (x - h)(x + k)。如果 ax2 - bx + c 则 (x - h)(x - k)。本例子中是 3x2 + 2x - 8 ，因此 (x - h)(x + k)是答案的形式，然后试试： (3x + 8)(x - 1)

找零点。 比如x=-1使代数式等于0， 则x+1一定是它的一个因式，然后再以这个罢工为基准进行因式分解。 原式＝x^3+x^2+3x^2+3x+2x+2 =x^2(x+1)+3x(x+1)+2(x+1) =(x+1)(x^2+3x+2) =(x+1)(x+1)(x+2) =(x+1)^2(x+2)

第6步：把两个括号展开，如果中间项不对，则这种化简不对（c的因数选错了）。

把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个因式分解（也叫作分解因式）。它是中学数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具。 因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方

(3x + 8)(x - 1)，3x2 - 3x + 8x - 8，3x2 + 5x - 8 ≠ 3x2 + 2x - 8

原式=-a^4+2(b^2+c^2)a^2-(b^2+c^2)^2+4b^2*c^2=4b^2*c^2-(a^2-b^2-c^2)^2=(2bc+b^2+c^2-a^2)(2bc-b^c-c^2+a^2)=((b+c)^2-a^2)(a^2-(b-c)^2)=(b+c-a)(b+c+a)(a-b+c)(a+b-c)

第7步：如果必要，则换掉因数。

把一个多项式在一个范围（如有理数范围内分解，即所有项均为有理数）化为几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解，也叫作分解因式。 原则： 1.结果最后只留下小括号 2.结果的多项式首项为正。 在一个公式内把其公因子抽出，即透过公式重组，

本例中我们试试2和4这对： (3x + 2)(x - 4)

因式分解没有普遍的方法，初中数学教材中主要介绍了提公因式法、公式法。而在竞赛上，又有拆项和添减项法，分组分解法和十字相乘法，待定系数法，双十字相乘法，对称多项式轮换对称多项式法，余式定理法，求根公式法，换元法，长除法，短除法，

c 现在是-8。

把一个多项式在一个范围(如实数范围内分解，即所有项均为实数)化为几个整式的积的形式，这种式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式，和我们小学里学的因数分解很类似。 1、如果多项式的首项为负，应先提取负号； 这里的

但是外项和内项积分别是-12x 和 2x， 合并不成+2x。

f（x）=-2x^2+ax+a^2 可化为：f(x)=(a-x)(2x+a) 可以用因式分解： 公式：（x+c)(x+b)=x^2+(c+b)x+cb (qx+c)(px+b)=qpx^2+(cp+bq)x+cb 上述式子中：-2=qp a=(cp+bq) a^2=cb 就解得：q=2 p=-1 c=a b=a 所以 f（x）=-2x^2+ax+a^2 可化为：f(x)=(a-x

第8步：如果必要的话就调转顺序。

①如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式； ②如果各项没有公因式，那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解； ③如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组、拆项、补项法来分解； ④分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止. (6

我们试试把2、4换个位置。 (3x + 4)(x - 2)

十字相乘法一般用于分解二次三项式。 三次三项式一般用拆项，减项，先提公共的因式,再像 二次那样因式分解。 因式分解的步骤： 1.提取公因式：这个是最基本的.就是有公因式就提出来。（相同取出来剩下的相加或相减） 2.完全平方：看到式字内有两

c 还是对的。

判别式大于等于0时，能用因式分解法来解。特殊情况下当判别式为一完全平方数时，可 用十字相乘法解。

外项积和内项积是-6x 和 4x， 则这两个数的和同2x正好符号相反

因式分解拆添项法是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零。 在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多

第9步：然后再确认一下符号正负。

把一个多项式在一个范围（如有理数范围内分解，即所有项均为有理数）化为几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解，也叫作分解因式。 原则： 1.结果最后只留下小括号 2.结果的多项式首项为正。 在一个公式内把其公因子抽出，即透过公式重组，

顺序是没错的，现在把符号倒过来： (3x - 4)(x + 2)

c 还是对的。

判别式大于等于0时，能用因式分解法来解。特殊情况下当判别式为一完全平方数时，可 用十字相乘法解。

外项积和内项积现在6x 和 -4x。 加起来等于2x ，这次就对了。

第二部分：分解法

不喜欢猜的方法， 可以试试这个。

例子: 6x2 + 13x + 6

第1步：把a、c乘起来，本例中是：6?6 = 36

第2步：找出一对数字，乘起来是36，加起来又是b（13）：4?9 = 36 4 + 9 = 13

第3步：把两个数字设为 k 和 h (顺序随意):

ax2 + kx + hx + c，6x2 + 4x + 9x + 6

第4步：整理成组，因式分解。

整理一下方程，使得可以提出最大公因式（(3x+2)），然后合并同类项，得到因式分解结果。6x2 + 4x + 9x + 6，2x(3x + 2) + 3(3x + 2)，(2x + 3)(3x + 2)

第三部分：三重方法

本方法很像分解法，不过更简单例子: 8x2 + 10x + 2

第1步：将a、c两项相乘。

8?2 = 16

第2步：找出两个数字，相乘是16，相加又是b(10)。

2?8 = 16 8 + 2 = 10

第3步：将两个数（ h 、 k）代入这个方程：(ax + h)(ax + k)---------------------- a(8x + 8)(8x + 2)---------------------- 8（如图）

第4步：看看哪一个括号项可以被a整除，并且商是偶数。

a {本例中为(8x + 8)}。用a除以这个数，让另一项保持原样(8x + 8)(8x + 2)---------------------- 8，答案:(x + 1)(8x + 2)

第5步：如果两括号有最大公因式，提出来：(x + 1)(8x + 2)，2(x + 1)(4x + 1)

第四部分：两个平方之差

第1步：如果需要，则提出最大公因数。

27x2 - 12，3(9x2 - 4)

第2步：看看方程是否是两个平方之差。

一定要有两项，否则不能平均分解这个方程。√(9x2) = 3x ， √(4) = 2 （注意这里省去了负数根。）

第3步：把“a”、“c”从你的等式中代入下列公式：(√(a) + √(c))(√(a) - √(c))3[(√(9x2) + √(4))(√(9x2) - √(4))]3[(3x + 2)(3x - 2)]

第五部分：使用二次公式

上述方法都不行，则用二次公式例如：x2 + 4x + 1

第1步：将对应量代入本方程：x = -b ± √(b2 - 4ac) --------------------- 2a，x = -4 ± √(42 - 4?1?1) ----------------------- 2?1（如图）

第2步：解出x。

得到两个x，x= -4 ± √(16 - 4) ------------------ 2x = -4 ± √(12) -------------- 2x = -4 ± √(4?3) -------------- 2x = -4 ± 2√(3) -------------- 2x = -2 ± √(3)，x = -2 + √(3) 或 x = -2 - √(3)（如图）

第3步：把x值(h 、k) 代入方程 (x - h)(x - k)，(x - (-2 + √(3))(x - (-2 - √(3))，(x + 2 + √(3))(x + 2 - √(3))

第六部分：用计算器

这些步骤适合TI图形计算器，在标准考试中尤其好用。

第1步：输入[Y = ] ：y = x2 ? x ? 2

第2步：按下 [GRAPH]作图。

第3步：找到和x 轴相交点得到(-1, 0), (2 , 0)，x = -1, x = 2

如果看不到，则按下[2nd] -[TRACE]， 按下 [2] 或选择“0”。移到交点之左以后按下[ENTER]， 移到交点之右按下[ENTER]， 移到尽量接近和x轴相交的点旁边，按下 [ENTER]，计算器就会自动算出该点的横坐标。对另一个交点也重复此步骤。

第4步：把x值(h 和 k)代入本公式： (x - h)(x - k)，(x - (-1))(x - 2)，整理为(x + 1)(x + (-2)) 表示出两个交点来。

利用箱型法（可视解）

本网站有解释: http://www.purplemath.com/modules/factquad3.htm

视频说明: http://www.youtube.com/watch?v=bq1Iw1w1Bgo

小提示

若用二次公式因式分解了一个多项式，其中含有根数，可能需要将x换成分数来检查该解是否正确。

如果一个项没有系数，则系数是1。x2 = 1x2

如果有 TI-84 计算器 (可画图) ，则有一个叫做SOLVER的程序可以解二次方程，这个程序还可以解任何其他次数的多项式。

如果一个项不存在，则它的系数是0。有时把0项写出来会比较方便，比如x2 + 6 = x2 + 0x + 6

在熟悉试错法前，先把要试的因数写下来，熟练了以后再在脑子中运算。

警告

如果你在数学课中学到了这个概念，要注意老师建议用什么方式，就尽量不要用你喜欢的别的方式。因为老师可能会让你在考试中用特定的一种方法来解，或者不让你用图画计算器来解。

你需要准备

铅笔

纸

二次方程，或叫二次多项式

画图计算器（可选）

扩展阅读，以下内容您可能还感兴趣。

因式分解有哪几种？？计算方法是怎样的

1、提公因式法

几个多项式的各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。 如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。

具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的。

如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数成为正数。提出“-”号时，多项式的各项都要变号。

2、公式法

如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法。

平方差公式：a²-b²=(a+b)(a-b)；

完全平方公式：a²±2ab+b²=(a±b)²；

注意：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍。

3、待定系数法

例如，将ax2+bx+c(a,b,c是常数，ab≠0)因式分解，可令ax2+bx+c=0，再解这个方程。如果方程无解，则原式无法因式分解；如果方程有两个相同的实数根(设为m)，则原式可以分解为(x-m)2如果方程有两个不相等的实数根(分别设为m，n)，则原式可以分解为(x-m)(x-n)。

4、十字相乘法（数学术语）

十字分解法的方法简单来讲就是：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。其实就是运用乘法公式(x+a)(x+b)=x²+(a+b)x+ab的逆运算来进行因式分解。

十字分解法能把某些二次三项式分解因式。对于形如ax²+bx+c=(a₁x+c₁)(a₂x+c₂)的整式来说，方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a₁,a₂的积a₁·a₂。

把常数项c分解成两个因数c₁,c₂的积c₁·c₂，并使a₁c₂+a₂c₁正好等于一次项的系数b，那么可以直接写成结果：ax²+bx+c=(a₁x+c₁)(a₂x+c₂)。

扩展资料

韦达首先发现了因式分解的工具性和重要性，在其《论方程的整理和修改》中，首先给出代数方程的多项式因式分解方法，并证得所有三次和三次以上的一元多项式在实数范围内皆可因式分解。

1637年笛卡儿（R. Descartes，1596-1650）在其《几何学》中，首次应用待定系数法将4次方程分解为两个2次方程求解，并最早给出因式分解定理。

笛卡儿还改进了韦达的一些数学符号，首先用x,y,z表示未知数，用a,b,c表示已知数，这些数学习惯沿用至今。有些人可能讨厌数学，就是因其有太多符号和公式。

没有数学符号，乘法公式用语言叙述是多么啰嗦。故数学的进步在于其引进了较好的符号体系，使用数学符号是近代数学发展最为明显的标志之一。

参考资料来源：百度百科-因式分解法

什么叫做多项式，什么叫做多项式的因式分解

1、在数学中，由若干个单项式相加组成的代数式叫做多项式（若有减法：减一个数等于加上它的相反数）。多项式中的每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高项次数，就是这个多项式的次数。其中多项式中不含字母的项叫做常数项。

2、把一个多项式在一个范围(如实数范围内分解，即所有项均为实数)化为几个整式的积的形式，这种式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式。

扩展资料：

多项式因式分解的原则：

1、分解因式是多项式的恒等变形，要求等式左边必须是多项式。

2、分解因式的结果必须是以乘积的形式表示。

3、每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数。

4、结果最后只留下小括号，分解因式必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止；

5、结果的多项式首项一般为正。 在一个公式内把其公因子抽出，即透过公式重组，然后再抽出公因子；

6、括号内的首项系数一般为正；

7、如有单项式和多项式相乘，应把单项式提到多项式前。如(b+c)a要写成a(b+c)；

8、考试时在没有说明化到实数时，一般只化到有理数就够了，有说明实数的话，一般就要化到实数。

口诀：首项有负常提负，各项有“公”先提“公”，某项提出莫漏1，括号里面分到“底”。

参考资料来源：百度百科——因式分解

参考资料来源：百度百科——多项式

一元二次多项式因式分解，忘了怎么做了。

这不叫一元二次多项式（a+b+a-b)[(a+b)

分解三次因式的方法？

3次多项式的因式分解方法主要还是先观察出它的一个根来,然后判定它含有哪个一次因子,分解后就变为二次的了.下面的内容系统地介绍了因式分解的方法.

即和差化积，其最后结果要分解到不能再分为止。而且可以肯定一个多项式要能分解因式，则结果唯一，因为：数域F上的次数大于零的多项式f(x),如果不计零次因式的差异，那么f(x)可以唯一的分解为以下形式：

f(x)=aP1k1(x)P2k2(x)…Piki(x)*,其中α是f(x)的最高次项的系数，P1(x),P2(x)……Pi（x）是首1互不相等的不可约多项式，并且Pi(x)(I=1,2…,t)是f(x)的Ki重因式。

（*）或叫做多项式f(x)的典型分解式。证明：可参见《高代》P52-53 初等数学中，把多项式的分解叫因式分解，其一般步骤为：一提二套三分组等要求为：要分到不能再分为止。

因式分解的方法与技巧

⑴提公因式法

①公因式：各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的～.

②提公因式法：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.

am＋bm＋cm＝m（a+b+c）

③具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的. 如果多项式的第一项是负的，一般要提出“－”号，使括号内的第一项的系数是正的.

⑵运用公式法

①平方差公式：. a^2－b^2＝(a＋b)(a－b)

②完全平方公式： a^2±2ab＋b^2＝(a±b)^2

※能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式,其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍.

③立方和公式：a^3+b^3＝ (a+b)(a^2-ab+b^2).

立方差公式：a^3-b^3＝ (a-b)(a^2+ab+b^2).

④完全立方公式： a^3±3a^2b＋3ab^2±b^3＝(a±b)^3

⑤a^n-b^n=(a-b)【a^(n-1)+a^(n-2)b+……+b^(n-2)a+b^(n-1)】

a^m+b^m=(a+b)【a^(m-1)-a^(m-2)b+……-b^(m-2)a+b^(m-1)】(m为奇数)

⑶分组分解法

分组分解法：把一个多项式分组后，再进行分解因式的方法.

分组分解法必须有明确目的，即分组后，可以直接提公因式或运用公式.

⑷拆项、补项法

拆项、补项法：把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解；要注意，必须在与原多项式相等的原则进行变形.

⑸十字相乘法

①x^2＋（p q）x＋pq型的式子的因式分解

这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；一次项系数是常数项的两个因数的和.因此，可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解： x^2＋（p q）x＋pq＝（x＋p）（x＋q）

②kx^2＋mx＋n型的式子的因式分解

如果能够分解成k＝ac，n＝bd，且有ad＋bc＝m 时，那么

kx^2＋mx＋n＝（ax b）（cx d）

a \-----/b ac＝k bd＝n

c /-----\d ad＋bc＝m

※ 多项式因式分解的一般步骤：

①如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；

②如果各项没有公因式，那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解；

③如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组、拆项、补项法来分解；

④分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止.

(6)应用因式定理：如果f（a）=0，则f（x）必含有因式（x-a）。如f（x）=x^2+5x+6，f（-2）=0，则可确定（x+2）是x^2+5x+6的一个因式。

经典例题：

1.分解因式(1+y)^2-2x^2(1+y^2)+x^4(1-y)^2

解：原式=(1+y)^2+2(1+y)x^2(1+y)+x^4(1-y)^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2)

=【(1+y)+x^2(1-y)】^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2)

=【(1+y)+x^2(1-y)】^2-(2x)^2

=【(1+y)+x^2(1-y)+2x】·【(1+y)+x^2(1-y)-2x】

=(x^2-x^2y+2x+y+1)(x^2-x^2y-2x+y+1)

=【(x+1)^2-y(x^2-1)】【(x-1)^2-y(x^2-1)】

=(x+1)(x+1-xy+y)(x-1)(x-1-xy-y)

2.证明：对于任何数x,y，下式的值都不会为33

x^5+3x^4y-5x^3y^2+4xy^4+12y^5

解：原式=(x^5+3x^4y)-(5x^3y^2+15x^2y^3)+(4xy^4+12y^5)

=x^4(x+3y)-5x^2y^2(x+3y)+4y^4(x+3y)

=(x+3y)(x^4-5x^2y^2+4y^4)

=(x+3y)(x^2-4y^2)(x^2-y^2)

=(x+3y)(x+y)(x-y)(x+2y)(x-2y)

当y=0时，原式=x^5不等于33；当y不等于0时，x+3y,x+y,x-y,x+2y,x-2y互不相同，而33不能分成四个以上不同因数的积，所以原命题成立

因式分解的十二种方法

把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。因式分解的方法多种多样，现总结如下：

1、 提公因法

如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。

例1、 分解因式x -2x -x(2003淮安市中考题)

x -2x -x=x(x -2x-1)

2、 应用公式法

由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式。

例2、分解因式a +4ab+4b (2003南通市中考题)

解：a +4ab+4b =（a+2b）

3、 分组分解法

要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前两项分成一组，并提出公因式a，把它后两项分成一组，并提出公因式b，从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n，从而得到(a+b)(m+n)

例3、分解因式m +5n-mn-5m

解：m +5n-mn-5m= m -5m -mn+5n

= (m -5m )+(-mn+5n)

=m(m-5)-n(m-5)

=(m-5)(m-n)

4、 十字相乘法

对于mx +px+q形式的多项式，如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p，则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c)

例4、分解因式7x -19x-6

分析： 1 -3

7 2

2-21=-19

解：7x -19x-6=（7x+2）(x-3)

5、配方法

对于那些不能利用公式法的多项式，有的可以利用将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解。

例5、分解因式x +3x-40

解x +3x-40=x +3x+( ) -( ) -40

=(x+ ) -( )

=(x+ + )(x+ - )

=(x+8)(x-5)

6、拆、添项法

可以把多项式拆成若干部分，再用进行因式分解。

例6、分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)

解：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)

=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)

=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)

=(c+b)(c-a)(a+b)

7、 换元法

有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来。

例7、分解因式2x -x -6x -x+2

解：2x -x -6x -x+2=2(x +1)-x(x +1)-6x

=x 【2(x + )-(x+ )-6

令y=x+ , x 【2(x + )-(x+ )-6

= x 【2(y -2)-y-6】

= x (2y -y-10)

=x (y+2)(2y-5)

=x (x+ +2)(2x+ -5)

= (x +2x+1) (2x -5x+2)

=(x+1) (2x-1)(x-2)

8、 求根法

令多项式f(x)=0,求出其根为x ,x ,x ,……x ,则多项式可因式分解为f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )……(x-x )

例8、分解因式2x +7x -2x -13x+6

解：令f(x)=2x +7x -2x -13x+6=0

通过综合除法可知，f(x)=0根为 ，-3，-2，1

则2x +7x -2x -13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1)

9、 图象法

令y=f(x)，做出函数y=f(x)的图象，找到函数图象与X轴的交点x ,x ,x ,……x ，则多项式可因式分解为f(x)= f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )……(x-x )

例9、因式分解x +2x -5x-6

解：令y= x +2x -5x-6

作出其图象，见右图，与x轴交点为-3，-1，2

则x +2x -5x-6=(x+1)(x+3)(x-2)

10、 主元法

先选定一个字母为主元，然后把各项按这个字母次数从高到低排列，再进行因式分解。

例10、分解因式a (b-c)+b (c-a)+c (a-b)

分析：此题可选定a为主元，将其按次数从高到低排列

解：a (b-c)+b (c-a)+c (a-b)=a (b-c)-a(b -c )+(b c-c b)

=(b-c) 【a -a(b+c)+bc】

=(b-c)(a-b)(a-c)

11、 利用特殊值法

将2或10代入x，求出数P，将数P分解质因数，将质因数适当的组合，并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式，将2或10还原成x，即得因式分解式。

例11、分解因式x +9x +23x+15

解：令x=2，则x +9x +23x+15=8+36+46+15=105

将105分解成3个质因数的积，即105=3×5×7

注意到多项式中最高项的系数为1，而3、5、7分别为x+1，x+3，x+5，在x=2时的值

则x +9x +23x+15=（x+1）（x+3）（x+5）

12、待定系数法

首先判断出分解因式的形式，然后设出相应整式的字母系数，求出字母系数，从而把多项式因式分解。

例12、分解因式x -x -5x -6x-4

分析：易知这个多项式没有一次因式，因而只能分解为两个二次因式。

解：设x -x -5x -6x-4=(x +ax+b)(x +cx+d)

= x +(a+c)x +(ac+b+d)x +(ad+bc)x+bd

所以 解得

则x -x -5x -6x-4 =(x +x+1)(x -2x-4)

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